最近想学学到底啥是「李群」，然而完全没看懂，所以先从学习「群论」一些基本性质开始，即本文标题所写的。
本系列写给并非数学或物理专业，但仍出于好奇，想去了解这些知识的人。
为啥研究「群」
我近期目标是大致弄明白啥叫 U(1) SU(2) SU(3) ？这里也不卖关子:
- 这是三个数学意义上的「群」(一种描述对称的结构)
- 这是三个「李群」(一种群内有无限个元素的，较复杂的群) 更精确说是「酉群」
- 这三个群，跟我们世界的物理本质，有着深刻联系
群的定义
如果你对接下来这些概念一无所知，那太好了，咱俩差不多。如果你对这些有点了解，那我们再一次开始「封结幺逆」之旅吧。
群，一种数学结构，群是「元素的集合」加上「二元运算符」，这个运算一般叫群的乘法。
群有四条公理
- 封闭，群内任意两元素相乘的结果仍在群里
- 运算支持结合律，即三个元素 a b c 连乘，先算前俩还是后俩，结果相同
- 存在唯一的单位元，跟任意元素相乘后，元素不变
- 每个元素都存在唯一逆元，二者相乘得到单位元
这里姑且不管为啥是这四条，还是先说回群。
我们讨论群，就得指明两个要素，缺一不可:
- 指明集合内的元素
- 指明元素间的乘法
其中一些要点是:
- 只有元素没有乘法，是不构成群的，那叫「集合」
- 例如，所有整数构成群 - 准确来说应该是，所有整数对四则运算的加法构成群
- 即，不能脱离运算谈群，除非特别明显
- 群的元素有可能比较复杂
- 可以是「向量」: 所有二维向量在向量加法下构成群
- 可以是「操作」: 魔方所有合法的转动操作形成一个群, 叫做魔方群 (此时群乘法是转动操作的叠加)
- 还可以是「集合」甚至「群」: 见后面「商群」
- 还可以是「映射」: 见后面「对称群」
最后回到群的四条公理这件事。
我记得自己当时看到这里，第一念头是「为啥非是这四条，能不能改变几条」然后顺着查了一通，一个小时过去了…
现在再想起来，数学固然是鼓励思考和刨根问底的，但想有效率「刨根问底」，还是得先多看再提问。问题都有意义，但一些问题在了解更多知识后会自然解答，一上来跟进这些它们反而容易跑偏。
非得满足这四条吗，要是少满足几条会怎么样?
少满足几条的情况，见 原群 半群 幺半群 Group-like structures - Wikipedia
举例: 编程语言中，所有的字符串对「字符串拼接操作」构成幺半群，空字符串是单位元 (幺元)。
多满足几条会怎么样?
多满足一个交换律可以得到「交换群」 (阿贝尔群)。
交换律说的是，群乘法 a x b 和 b x a 结果相同 (两个元素的「左乘」「右乘」结果可能并不相同)。
群为啥只有一个乘法？不能有减法除法吗?
乘法就是个代称，群上只有一种「二元运算」，因此管这个运算叫啥都行，一般说乘法是出于习惯。
减法除法是没有的，但是群有逆元，有时跟这俩的作用类似。
PS. 基于群可以构造「域」这时就需要多出来另一个「二元运算」，一般管先前一个运算叫域的「加法」，新增加的叫域的「乘法」。
举例: 有限域 (伽罗瓦域) 广泛运用在纠删码和故障恢复场合，二维码 (QR Code) 即使部分涂抹也能正确识别就是这原理，参考 Erasure-Code-擦除码-2-实现篇 - OpenACID Blog 作者写的 GF(7) 例子，此外，前一篇纠删码的几何理解也很精彩。
接下来我们讨论几个常见的群。
几个常见群的例子
维基页面里有好多群，但即便把它们都排版好了列出来，感觉也并不能多理解到啥。目前找到了这些资料，用来建立大概印象:
- 3B1B 有几个讲群论的视频, 可做初步了解 【官方双语】欧拉公式与初等群论 讲了把数字看成平移数轴的操作，这种把一种对象以多种视角来理解的思想很重要
- 有个网站 Group Explorer 3.0 - Visualization software for the abstract algebra classroom 列举了一些简单的群的例子
- 也见 Section 2: Examples of groups 教材来自 Math 4120 (Modern Algebra) 图文并茂，写了对称群和交错群的例子，一上来就讲轨道没搞懂 (可能为了引出循环图)
- 群论告诉你五度圈背后的秘密 讲纯五度是12阶循环群的生成元，循环群是比较好理解的群
群论里一些概念的理解
以下概念我主要是看的这几个资料
- 《群论一》讲义
- 对较难的概念都有写解释，比较好读
- 群论 (Group Theory) 终极速成 物理系零基础火箭级 notes 前几个章节可以看做是《群论一》讲义的笔记
- 信息密度巨大
- 时间少先只看结论，有空了可以看看证明部分
注: 群论教程还挺多的, 所以下面章节不是为了再写一遍定义, 也没有挨个推敲证明 (这早有人做的更好了) 这里只记录了自己理解和一些资料补充
子群
这部分讲「群内元素」间的关系。
子群：群 G 的一个子集 H，如果在原先群 G 的乘法下也能构成群，称 H 为 G 的子群。
「子群」这概念，要求元素是群的元素子集，要求乘法还是原先群的乘法。
若把群的「单位元」或「群的全部元素」拿出来，那它也是个子群。一般来说不讨论这种平凡的子群，数学里平凡 (trivial) 的意思是「当然的」「明显的」。
群论研究的是群内的「结构」，如果群有子群，似乎暗示着群结构可以被「分解」，后面会看到有些群是无法再分解的。
陪集 商集 正规子群 商群
这部分主要是拿「群元素」跟「子群 H」相乘得到的。
陪集：H 是 G 的子群，由一个 G 内元素 g「乘遍」H 内元素所得的集合，叫陪集。因为群乘法未必满足交换律，故分为左陪集和右陪集。
共轭：群 G 中俩元素 f, h 如果 G 中能找到一个 g，使 f, h 可以通过 g f g^{-1}= h 联系起来，则称 f, h 共轭。
这个目前我没太理解，共轭似乎说的是群内两元素的「隐含联系」，或者有点像「兄弟」之类的含义。
- 共轭可以用于定义类
- 不仅元素间可以共轭，子群间也可以
类：群 G 中所有相互共轭的元素形成的集合称为类。
正规子群：H 是 G 的子群，且 H 中所有元素的同类元素都属于 H 则 H 是 G 的正规子群。
商群：群 G 有正规子群 H，将群内元素 g 乘遍 H 可得到一系列的陪集，把每个陪集看成元素，这些元素也构成群，称为 G 对其不变子群 H 的商群，符号记为 G / H
- 商群的群元是「陪集」
- 商群的群乘法是「俩陪集内元素挨个乘遍」
- 群代表着某种结构，所以商群是以正规子群 H 及其陪集为元素的一种「结构的结构」
- 对符号 G / H 的个人理解:
- H 一定是 G 的正规子群
- H 本来也是个群，但在这场景里，H 就好比退化成单个元素
- 以 H 分解 G 之后，可以得到 G / H 那么多个，类似于 H 的结构
怎么理解? 这些概念在讨论群的划分，即把群拆分为互不重叠的多个小集合，在特定情况下，这些小集合也构成群。
见 抽象人的学习笔记：陪集与商群 举例了二维向量加法群的陪集和商群。
群同构 群同态
这部分研究的是两群间的关系，关键词是「群结构的保持」。讨论「同构 isomorphism」「同态 homomorphism」时，需要指明三个事:
- 做为源头的群 G
- 做为目标的群 F
- 以及映射关系 \varphi :G\to F
先来理解同构，这个容易些。
群同构：存在 一一映射 (双射，即单又满)，且这映射能保持群的乘法规律不变，则称 G 与 F 同构。
群同态：比上面要求弱些，存在 满映射 (允许多个 G 中元素映射到一个 F 中元素) 且映射后能保持群的乘法规律不变，则称 G 与 F 同态。
- 群同构，代表这两个群蕴含的信息 完全相同
- 这是由于群是抽象结构，群不关心里面它具体元素是啥，群只关心这些元素在乘法作用下，元素会怎么变化
- 群同态，代表这两个群蕴含的信息 比较相近
为啥要研究「相似」呢？可以参考这个「analogies between analogies」(相似之处的相似之处) 的说法 知识连成一片是什么体验？
看完我似乎若有所悟又似乎没懂。
但无论如何，「连接知识」这事，在这个社区做笔记的大伙肯定能明白。比如新写了笔记，连到库里另一笔记后发现: 咦？这俩笔记，虽然标题名字不同，但讨论的内容近似，章节的规划一致，笔记内小标题的引用一致，这感觉都是说的一回事呀？=> 笔记同构
PS. 一般因为旧的那条笔记，就是半年前自己写的…
单群
单群：没有非平凡正规子群的群
可以把单群的概念「类比于」质数。注意这就是方便理解，「质数」和「单群」都是有精确定义的，这俩定义没啥关联。
著名的 有限单群分类定理 见 Classification of finite simple groups
所有的有限单群都必将和下面列表的某个群同构：
- 下面三大类 (每类都有无限多种) 有限单群
- 质数阶循环群
- 至少5阶的交替群
- 李型群
- 26种散在单群
- 提次群 (有时也被认为是第27种散在单群)
这部分也见 【官方双语】群论与808017424794512875886459904961710757005754368000000000 大概第16分钟位置，当然完整视频也很值得看看
置换群
这部分跟集合 (或群) 映射到自身有关。
置换 / 变换：X 是非空集合，f 是将 X 映射到自身的 一一映射 (双射，即单又满)，将 f 称为 X 上的置换。
对于集合 X 的置换 f g, 也可以定义 f * g 的乘法，即是先对 X 进行 g 置换, 再对其进行 f 置换。
完全对称群：集合 X 的全体置换在此乘法下构成群，称为 X 的完全对称群 S_X 。
有了完全对称群，那么定义完全对称群的子群都叫对称群 (这个没有数学记号，看起来用处不如完全对称群多)。
凯莱定理 Cayley’s theorem：群 G 同构于 S_G 的一个子群
定理是说存在某个子群，所以只要找到一个就算是证完了。
关键是把 G 中每个元素看做是 G → G 的置换。那么可以证出 G (将每个元素视为置换) 是 S_G 的子群。
这里可见视角的变化，群 G 内的元素 g，除了群元的身份，还可以是：
- g 代表着群 G 内每个元素到元素的映射 (见重排定理)
- g 代表 G → G 的置换
- 进而 g 代表完全对称群 S_G 的其中一个元素
见 怎么理解凯莱定理？ 以及同问题下的许多回答
有了上面的概念，这两个也好理解了
自同构映射：群 G 到自身的同构映射。
自同构群：群 G 的所有自同构映射也构成群，其乘法定义为叠加这两种映射，此群称为群 G 的自同构群 A(G)。
直积群
前面说了群分解，这次是群合成
直积群：对于两群 G1 G2，可以定义乘法把两群合成一个大群。新群的群元素是「一对元素」即两群按照顺序各挑一元素，新群的乘法是，来自哪群的元素就按原先规矩去乘。
有了直积，就有直积分解，或者说直积群就是为考虑它将来可以分解。
写在最后
以上只是一些个人的「零星笔记」(sporadic simple note, 哈哈)，不指望做为教程。
我知道这只是起个头，群论这些基础知识，网上其实有不少同类文章，当然，越讲到后面的文章越少。
动笔写这个，我是预料到会有许多挫折的。希望自己能在这系列上，有足够多的坚韧和耐心吧。